Čo je súzvuk?

V predchádzajúcej poznámke sme zistili, ako funguje zvuk. Zopakujme si tento vzorec:

ZVUK = UZEMNÝ TÓN + VŠETKY VIACNÁSOBNÉ PREHLÁSENIA

Okrem toho, ako Japonci obdivujú čerešňové kvety, budeme obdivovať aj graf frekvenčnej odozvy – amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku zvuku (obr. 1):

Pripomeňme, že horizontálna os predstavuje výšku tónu (frekvenciu kmitov) a vertikálna os predstavuje hlasitosť (amplitúdu).

Každá zvislá čiara je harmonická, prvá harmonická sa zvyčajne nazýva základná. Harmonické sú usporiadané nasledovne: druhá harmonická je 2-krát vyššia ako základný tón, tretia sú tri, štvrtá sú štyri atď.

Kvôli stručnosti namiesto „frekvencie nharmonická“ jednoducho povieme „nharmonická“ a namiesto „základnej frekvencie“ – „frekvencia zvuku“.

Pri pohľade na frekvenčnú odozvu nám teda nebude ťažké odpovedať na otázku, čo je to súzvuk.

Ako počítať do nekonečna?

Súzvuk doslova znamená „spoluznejúce“, spoločné znejúce. Ako môžu znieť dva rôzne zvuky spolu?

Nakreslíme ich na rovnakú tabuľku pod seba (obr. 2):

Tu je odpoveď: niektoré harmonické sa môžu frekvenčne zhodovať. Je logické predpokladať, že čím viac zodpovedajúcich frekvencií, tým viac „bežných“ zvukov majú, a teda tým viac súzvuku vo zvuku takéhoto intervalu. Aby sme boli úplne presní, dôležitý nie je len počet zhodných harmonických, ale aj to, aký podiel všetkých znejúcich harmonických sa zhoduje, teda pomer počtu zhodných k celkovému počtu znejúcich harmonických.

Získame najjednoduchší vzorec na výpočet súladu:

kde N_sovp je počet zodpovedajúcich harmonických,  N_spoločný je celkový počet znejúcich harmonických (počet rôznych znejúcich frekvencií) a zápory a je našou želanou zhodou. Aby sme boli matematicky správne, je lepšie nazvať množstvo miera frekvenčnej zhody.

No, záležitosť je malá: musíte počítať N_sovp и N_spoločný, rozdeľte jeden po druhom a získajte požadovaný výsledok.

Jediným problémom je, že celkový počet harmonických a dokonca aj počet zodpovedajúcich harmonických je nekonečný.

Čo sa stane, ak vydelíme nekonečno nekonečnom?

Zmeňme mierku predchádzajúceho grafu, „odíďme“ od neho (obr. 3)

Vidíme, že zodpovedajúce harmonické sa vyskytujú znova a znova. Obrázok sa opakuje (obr. 4).

Toto opakovanie nám pomôže.

Pomer (1) nám stačí vypočítať v jednom z bodkovaných obdĺžnikov (napr. v prvom), potom z dôvodu opakovaní a na celej čiare zostane tento pomer rovnaký.

Pre jednoduchosť sa frekvencia základného tónu prvého (nižšieho) zvuku bude považovať za rovnajúcu sa jednotke a frekvencia základného tónu druhého zvuku sa zapíše ako neredukovateľný zlomok.  .

V zátvorkách si všimnime, že v hudobných systémoch sa spravidla používajú práve zvuky, ktorých pomer frekvencií je vyjadrený zlomkom  . Napríklad interval pätiny je pomer  , litre -  , tritón -   a tak ďalej

Vypočítajme pomer (1) vo vnútri prvého obdĺžnika (obr. 4).

Je pomerne jednoduché spočítať počet zodpovedajúcich harmonických. Formálne sú dve, jedna patrí k spodnej hláske, druhá – k hornej, na obr. 4 sú označené červenou farbou. Ale obe tieto harmonické znejú na rovnakej frekvencii, v tomto poradí, ak spočítame počet zodpovedajúcich frekvencií, potom bude len jedna takáto frekvencia.

Aký je celkový počet znejúcich frekvencií?

Hádajme sa takto.

Všetky harmonické nižšieho zvuku sú usporiadané v celých číslach (1, 2, 3 atď.). Akonáhle je ktorákoľvek harmonická z horného zvuku celé číslo, bude sa zhodovať s jednou z harmonických spodných. Všetky harmonické horného zvuku sú násobkami základného tónu , teda frekvencia n-tá harmonická sa bude rovnať:

to znamená, že to bude celé číslo (keďže m je celé číslo). To znamená, že horný zvuk v obdĺžniku má harmonické od prvého (základného tónu) po n-ach, teda zvuk n kmitočty.

Pretože všetky harmonické nižšieho zvuku sú umiestnené v celých číslach a podľa (3), prvá zhoda nastáva pri frekvencii m, ukazuje sa, že spodný zvuk vo vnútri obdĺžnika dá m znejúce frekvencie.

Treba poznamenať, že zhodná frekvencia m opäť sme počítali dvakrát: keď sme počítali frekvencie horného zvuku a keď sme počítali frekvencie spodného zvuku. Ale v skutočnosti je frekvencia jedna a pre správnu odpoveď budeme musieť odpočítať jednu „extra“ frekvenciu.

Súčet všetkých znejúcich frekvencií vo vnútri obdĺžnika bude:

Dosadením (2) a (4) do vzorca (1) dostaneme jednoduchý výraz na výpočet súzvuku:

Ak chcete zdôrazniť zhodu zvukov, ktoré sme vypočítali, môžete tieto zvuky uviesť v zátvorkách zápory:

Pomocou takého jednoduchého vzorca môžete vypočítať zhodu akéhokoľvek intervalu.

A teraz zvážime niektoré vlastnosti frekvenčnej zhody a príklady jej výpočtu.

Vlastnosti a príklady

Najprv vypočítajme súzvuky pre najjednoduchšie intervaly a uistite sa, že vzorec (6) „funguje“.

Aký interval je najjednoduchší?

Určite prima. Dve tóny znejú súčasne. Na grafe to bude vyzerať takto:

Vidíme, že úplne všetky znejúce frekvencie sa zhodujú. Preto sa súzvuk musí rovnať:

Teraz nahradíme pomer za unisono  do vzorca (6) dostaneme:

Výpočet sa zhoduje s „intuitívnou“ odpoveďou, ktorá sa dá očakávať.

Zoberme si ďalší príklad, v ktorom je intuitívna odpoveď rovnako zrejmá – oktáva.

V oktáve je horný zvuk 2-krát vyšší ako spodný (podľa frekvencie základného tónu), v grafe to bude vyzerať takto:

Z grafu je vidieť, že každá druhá harmonická sa zhoduje a intuitívna odpoveď je: zhoda je 50%.

Vypočítajme to podľa vzorca (6):

A opäť, vypočítaná hodnota sa rovná „intuitívnej“.

Ak notu berieme ako spodnú hlásku na a vyneste do grafu hodnotu zhody pre všetky intervaly v rámci oktávy (jednoduché intervaly), dostaneme nasledujúci obrázok:

Najvyššie miery súzvuku sú v oktáve, kvinte a kvarte. Historicky sa odvolávali na „dokonalé“ súzvuky. Malá a veľká tercia a malá a veľká sexta sú o niečo nižšie, tieto intervaly sa považujú za „nedokonalé“ súzvuky. Ostatné intervaly majú nižší stupeň konsonancie, tradične patria do skupiny disonancií.

Teraz uvádzame niektoré vlastnosti miery frekvenčnej zhody, ktoré pochádzajú zo vzorca na jej výpočet:

1. Čím je pomer zložitejší  (čím viac čísla m и n), čím je interval menej súhlasný.

И m и n vo vzorci (6) sú v menovateli, preto, keď sa tieto čísla zvyšujú, miera zhody klesá.

2. Horná konsonancia intervalu sa rovná zostupnej konsonancii intervalu.

Aby sme získali interval nadol namiesto intervalu nahor, potrebujeme v pomere   výmena m и n. Ale vo vzorci (6) sa z takejto náhrady nezmení absolútne nič.

3. Miera frekvenčnej zhody intervalu nezávisí od toho, z akej noty ho budujeme.

Ak posuniete obe noty o rovnaký interval nahor alebo nadol (napríklad postavte kvintu nie z noty na, ale z pozn D), potom pomer  medzi notami sa nezmení, a preto miera frekvenčnej zhody zostane rovnaká.

Mohli by sme dať aj iné vlastnosti zhody, ale zatiaľ sa obmedzíme na tieto.

Fyzika a texty

Obrázok 7 nám dáva predstavu o tom, ako funguje konsonancia. Ale naozaj takto vnímame súzvuk intervalov? Existujú ľudia, ktorí nemajú radi dokonalé súzvuky, ale tie najnezvučné harmónie sa zdajú byť príjemné?

Áno, takí ľudia určite existujú. A aby sme to vysvetlili, mali by sa rozlišovať dva pojmy: fyzický súlad и vnímaná zhoda.

Všetko, čo sme uvažovali v tomto článku, súvisí s fyzickou zhodou. Na jej výpočet potrebujete vedieť, ako zvuk funguje a ako sa sčítavajú rôzne vibrácie. Fyzická zhoda poskytuje predpoklady pre vnímanú zhodu, ale neurčuje ju na 100 %.

Vnímaná zhoda sa určuje veľmi jednoducho. Človeka sa pýta, či sa mu páči tento súzvuk. Ak áno, potom je to pre neho súzvuk; ak nie, je to nesúlad. Ak dostane na porovnanie dva intervaly, potom môžeme povedať, že jeden z nich sa človeku bude v danej chvíli zdať viac súhlasný, druhý menej.

Dá sa vypočítať vnímaná zhoda? Ak by sme aj predpokladali, že je to možné, tak tento výpočet bude katastrofálne komplikovaný, bude zahŕňať ešte jedno nekonečno – nekonečno človeka: jeho skúsenosti, sluchové vlastnosti a mozgové schopnosti. S týmto nekonečnom nie je také ľahké sa vysporiadať.

Výskum v tejto oblasti však stále prebieha. Najmä skladateľ Ivan Soshinsky, ktorý láskavo poskytuje zvukové materiály pre tieto poznámky, vyvinul program, pomocou ktorého si môžete zostaviť individuálnu mapu vnímania súzvukov pre každú osobu. V súčasnosti sa pripravuje stránka mu-theory.info, kde sa môže každý otestovať a zistiť vlastnosti svojho sluchu.

A predsa, ak existuje vnímaná zhoda a líši sa od fyzickej, aký zmysel má vypočítať tú druhú? Túto otázku môžeme preformulovať konštruktívnejším spôsobom: ako tieto dva pojmy súvisia?

Štúdie ukazujú, že korelácia medzi priemernou vnímanou zhodou a fyzickou zhodou je rádovo 80 %. To znamená, že každý človek môže mať svoje vlastné individuálne vlastnosti, ale fyzika zvuku výrazne prispieva k definícii súzvuku.

Samozrejme, vedecký výskum v tejto oblasti je stále na úplnom začiatku. A ako zvukovú štruktúru sme vzali relatívne jednoduchý model viacerých harmonických a výpočet konsonancie bol použitý najjednoduchší - frekvenčný a nezohľadňoval zvláštnosti mozgovej činnosti pri spracovaní zvukového signálu. Ale skutočnosť, že aj v rámci takýchto zjednodušení bola dosiahnutá veľmi vysoká miera korelácie medzi teóriou a experimentom, je veľmi povzbudzujúca a stimuluje ďalší výskum.

Aplikácia vedeckej metódy v oblasti hudobnej harmónie sa neobmedzuje len na výpočet konsonancie, prináša aj zaujímavejšie výsledky.

Napríklad pomocou vedeckej metódy môže byť hudobná harmónia znázornená graficky, vizualizovaná. O tom, ako to urobiť, si povieme nabudúce.

Autor – Roman Oleinikov